Si observamos la función f(x)=x−2x2−4, no está definida en x=2. Sin embargo, notamos que al acercarnos a x=2, el valor de f(x) se acerca a 4. Por tanto, limx→2f(x)=4.
Cuando x→c, f(x)→L
El límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un valor c, denotado como limx→cf(x)=L, significa que a medida que x toma valores cada vez más cercanos a c (por ambos lados), el valor de la función f(x) se aproxima a L. No es necesario que la función esté definida en el propio punto x=c.
Para que un límite exista matemáticamente, ambos límites laterales deben existir y ser iguales entre sí: limx→c−f(x)=limx→c+f(x)=L.
Indeterminaciones
Infinito entre infinito (∞∞)
Ejemplo:
Si el grado del numerador es mayor: el límite es ±∞. Ejemplo: limx→∞x2+1x3=∞.
Si el grado del denominador es mayor: el límite es 0. Ejemplo: limx→∞x2+13x=0.
Si los grados son iguales: se dividen los coeficientes principales. Ejemplo: limx→∞3x2−x2x2+1=32.
Aparece comúnmente en el cálculo de límites de funciones racionales (cociente de dos polinomios) cuando x→±∞. Para resolverla, se comparan los grados de los polinomios del numerador y del denominador. Alternativamente, se puede aplicar la Regla de L'Hôpital.
Cero entre cero (00)
Ejemplo:
Para resolver limx→1x−1x2−1: Al sustituir x=1 queda 00. Factorizamos el numerador: x−1(x−1)(x+1). Simplificamos el factor común (x−1) y nos queda limx→1(x+1). Ahora sustituimos otra vez x=1 y obtenemos el resultado: 1+1=2.
Se presenta al calcular un límite puntual, limx→a, obteniendo que tanto el numerador como el denominador se anulan simultáneamente. Para evitarla, generalmente se debe factorizar el numerador y el denominador (usando Ruffini o resolviendo ecuaciones de segundo grado) y simplificar el factor (x−a) que se repite. También se puede usar L'Hôpital.
Infinito menos infinito (∞−∞)
Ejemplo:
Sea limx→∞(x2+x−x). Da ∞−∞. Multiplicamos y dividimos por su conjugado (x2+x+x): limx→∞x2+x+x(x2+x−x)(x2+x+x) = limx→∞x2+x+xx2+x−x2 = limx→∞x2+x+xx. Ahora la indeterminación es ∞∞ y da 1+11=21.
Ocurre en restas de polinomios, fracciones o raíces donde ambos términos tienden a infinito.
Con sumas de fracciones: Operar (hacer múltiplo común) para obtener un solo cociente y pasar a ∞∞.
Con raíces cuadradas: Multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión.
Uno elevado a infinito (1∞)
Ejemplo:
Cálculo de limx→∞(xx+1)x. Al sustituir da 1∞. Aplicando la fórmula: elimx→∞x⋅(xx+1−1). Restamos el paréntesis: xx+1−1=xx+1−x=x1. El límite en el exponente es limx→∞x⋅x1=1. Por tanto, el resultado final es e1=e.
Suele aparecer al relacionar el límite con el número e, definido como limx→∞(1+x1)x=e. Para resolverla en funciones f(x)g(x) se aplica una fórmula simplificada: limf(x)g(x)=elimg(x)⋅(f(x)−1).
Asíntotas de una función
Asíntota vertical
Ejemplo:
La función f(x)=x−11 tiene una asíntota vertical en x=1 porque los límites laterales cuando x→1 son infinitos. limx→1+f(x)=+∞.
Asíntota vertical en x=1
Corresponde a la recta vertical de ecuación x=a a la que la función se acerca indefinidamente tomando valores de +∞ o −∞. Se suelen encontrar calculando los límites en los puntos donde el denominador de la función se hace cero y no se pueden simplificar.
Asíntota horizontal
Ejemplo:
Para f(x)=x+12x, al calcular su límite cuando x→∞, se produce una indeterminación ∞∞. Como los grados son iguales, dividimos sus coeficientes principales: 12=2. Luego y=2 es una asíntota horizontal.
Asíntota horizontal en y=2
Son rectas horizontales de la forma y=L. Ocurren cuando al irse x a +∞ o −∞, el límite de f(x) da un número real finito: limx→±∞f(x)=L.
Asíntota oblicua
Ejemplo:
Para f(x)=xx2+1: Calculamos m=limx→∞x2x2+1=1. Calculamos n=limx→∞(xx2+1−x)=limx→∞x1=0. Por tanto, la asíntota oblicua es y=1x+0⇒y=x.
Asíntota oblicua y=x
Es una recta inclinada de la forma y=mx+n (con m=0). Si una función racional no tiene asíntota horizontal, podrá tener asíntota oblicua siempre que el grado del numerador sea exactamente 1 unidad mayor que el del denominador. Los parámetros se deducen de: m=limx→∞xf(x) y n=limx→∞(f(x)−mx).
Continuidad y discontinuidad
Función continua
Ejemplo:
La función f(x)=x2 es continua en todo R. Los polinomios, las funciones trigonométricas y la exponencial son siempre continuas en su dominio.
Una función es continua en un puntox=a si se cumplen tres condiciones simultáneamente: ① f(a) está definida. ② Existe limx→af(x). ③ limx→af(x)=f(a).
Una función es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.
Discontinuidad evitable
Ejemplo:
La función f(x)=x−1x2−1 es discontinua en x=1, pero limx→1f(x)=2. Redefiniendo f(1)=2 la función se vuelve continua. Observa el círculo hueco en x=1: indica que ese punto no está definido.
Discontinuidad evitable en x=1
Se produce cuando existe el límite en el punto pero la función no está definida allí (o toma un valor distinto al límite). Se llama evitable porque se puede redefinir la función en ese punto para hacerla continua.
Discontinuidad de salto finito
Ejemplo:
La función f(x)={xx+1si x<0si x≥0 tiene una discontinuidad de salto finito en x=0. El salto vale 1.
Discontinuidad de salto finito en x=0
Los límites laterales existen ambos y son finitos, pero son diferentes entre sí. El salto es la diferencia entre el límite por la derecha y por la izquierda: limx→a+f(x)−limx→a−f(x).
Discontinuidad de salto infinito
Ejemplo:
La función f(x)=x1 tiene una discontinuidad de salto infinito en x=0, ya que limx→0+f(x)=+∞ y limx→0−f(x)=−∞.
Discontinuidad de salto infinito de f(x)=x1 en x=0
Alguno de los límites laterales (por la izquierda o por la derecha) es infinito. La función presenta una asíntota vertical en el punto de discontinuidad.
