DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variables aleatorias discretas

Variable aleatoria discreta

Ejemplo:

Al lanzar dos dados,

X

= «suma de los valores obtenidos» puede tomar los valores

2, 3, 4, \ldots, 12

Una variable aleatoria discreta

X

es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio. Se llama discreta porque solo puede tomar valores aislados (finitos o infinitos numerables), como el número de caras al lanzar monedas o el número de goles en un partido.

Función de probabilidad

P(X = x_i) = p_i, \quad \text{donde } \sum_{i} p_i = 1 \text{ y } p_i \geq 0

Ejemplo:

Sea

X

= «número de caras al lanzar 2 monedas»:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$

Comprobación:

\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = 1

✓

La función de probabilidad (o distribución de probabilidad) asigna a cada valor posible

x_i

de la variable su probabilidad

p_i

. Se suele representar en una tabla:

Función de distribución

F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_i

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior (2 monedas):

$x$	$x \lt 0$	$0 \leq x \lt 1$	$1 \leq x \lt 2$	$x \geq 2$
$F(x)$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	1

La función de distribución acumulada

F(x)

da la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que

x

. Es una función escalonada que empieza en 0 y termina en 1.

Media (esperanza matemática)

\mu = E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i

Ejemplo:

Para

X

= número de caras con 2 monedas:

\mu = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1

En promedio, al lanzar 2 monedas se obtiene 1 cara.

La media o esperanza matemática

\mu

representa el valor promedio que esperamos obtener a largo plazo al repetir el experimento muchas veces. Es el «centro de gravedad» de la distribución.

Desviación típica

\sigma^2 = \sum_{i} x_i^2 \cdot p_i - \mu^2 \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior (

\mu = 1

\sigma^2 = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{2}{4} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} - 1^2 = 0 + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} - 1 = \frac{6}{4} - 1 = 0.5

\sigma = \sqrt{0.5} \approx 0.71

La varianza

\sigma^2

mide la dispersión de la variable respecto a su media. La desviación típica

\sigma

es su raíz cuadrada y se expresa en las mismas unidades que la variable.

Distribución binomial

¿Cuándo se aplica?

Ejemplo:

Condiciones que deben cumplirse:

El experimento se repite un número fijo $n$ de veces.
Cada repetición es independiente de las demás.
Solo hay dos resultados posibles en cada repetición.
La probabilidad de éxito $p$ es constante en todas las repeticiones.

La distribución binomial modela el número de éxitos en

n

repeticiones independientes de un experimento con solo dos posibles resultados: éxito (probabilidad

p

) y fracaso (probabilidad

1-p

). Se escribe

X \sim B(n, p)

Función de probabilidad

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n

Ejemplo:

Se lanza una moneda 5 veces. ¿Probabilidad de obtener exactamente 3 caras? Con

X \sim B(5, 0.5)

P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125

Donde

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

es el número combinatorio que cuenta las formas de elegir

k

éxitos entre

n

intentos.

Media, varianza y desviación típica

\mu = n \cdot p \qquad \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \qquad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Ejemplo:

X \sim B(20, 0.3)

(20 preguntas de test, probabilidad de acertar 0.3):

\mu = 20 \cdot 0.3 = 6 \text{ aciertos esperados}

\sigma^2 = 20 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 4.2

\sigma = \sqrt{4.2} \approx 2.05

Son fórmulas directas que evitan calcular toda la distribución. La media indica el número esperado de éxitos, la varianza mide la dispersión y la desviación típica se expresa en las mismas unidades que la variable.

Distribución normal

La distribución normal

Ejemplo:

Alturas de personas adultas, errores de medición, notas de un examen con muchos alumnos... son fenómenos que suelen seguir una distribución normal.

La distribución normal

X \sim N(\mu, \sigma)

es la distribución continua más importante. Su gráfica tiene forma de campana de Gauss, simétrica respecto a la media

\mu

, con la mayoría de valores concentrados alrededor de ella. El parámetro

\sigma

controla su anchura: mayor

\sigma

implica curva más aplastada y dispersa.

Distribución normal estándar $N(0,1)$

\Phi(z) = P(Z \leq z)

La distribución normal estándar

Z \sim N(0,1)

es una normal con media

\mu = 0

y desviación típica

\sigma = 1

. Para calcular probabilidades en cualquier distribución normal, se utilizan las tablas de la normal estándar, que dan el valor de la función de distribución acumulada:

\Phi(z) = P(Z \leq z)

Es decir,

\Phi(z)

es el área bajo la curva a la izquierda del valor

z

. La tabla siempre da la probabilidad acumulada desde $-\infty$ hasta $z$ .

Cómo usar la tabla: propiedades clave

Ejemplo:

Ejemplo: Calcular

P(Z > 1.5)

P(-1 < Z < 2)

:

•

P(Z > 1.5) = 1 - \Phi(1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668

•

P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = \Phi(2) - (1 - \Phi(1))

= 0.9772 - (1 - 0.8413) = 0.9772 - 0.1587 = 0.8185

Con la tabla de la normal estándar solo obtenemos

P(Z \leq z)

. Para otros casos usamos:

Cola derecha: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$
Intervalo: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$
Valores negativos: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ (por simetría)

Tipificación: de $N(\mu, \sigma)$ a $N(0,1)$

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Ejemplo:

Ejemplo completo: Las notas de un examen siguen

X \sim N(6, 1.5)

. ¿Qué porcentaje de alumnos sacó más de un 8?

1. Tipificamos:

z = \dfrac{8 - 6}{1.5} = \dfrac{2}{1.5} \approx 1.33

2. Buscamos en la tabla:

\Phi(1.33) = 0.9082

3. Cola derecha:

P(X > 8) = 1 - 0.9082 = 0.0918

Aproximadamente el 9.2% de los alumnos sacó más de un 8.

Para calcular probabilidades con una normal cualquiera

X \sim N(\mu, \sigma)

, se tipifica (estandariza) la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica. Así se obtiene una variable

Z \sim N(0,1)

y se puede usar la tabla.

Aproximación de la binomial a la normal

Corrección de continuidad de Yates

Ejemplo:

Probabilidad original (discreta)	Aproximación continua (con Yates)
$P(X = k)$	$P(k - 0.5 \lt X \lt k + 0.5)$
$P(X \leq k)$	$P(X \lt k + 0.5)$
$P(X \geq k)$	$P(X \gt k - 0.5)$
$P(X \lt k)$	$P(X \lt k - 0.5)$
$P(X \gt k)$	$P(X \gt k + 0.5)$

Cuando

n

es grande y

p

no es extremo, la binomial

B(n,p)

se puede aproximar por una normal

N(\mu, \sigma)

con

\mu = np

\sigma = \sqrt{np(1-p)}

. Como la binomial es discreta y la normal es continua, se aplica la corrección por continuidad de Yates, que consiste en ampliar 0.5 el intervalo por cada lado antes de tipificar.

Criterio de aplicación:

n \cdot p \geq 5

n \cdot (1-p) \geq 5

Ejemplo de aproximación paso a paso

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}

Ejemplo:

Ejemplo:

X \sim B(100, 0.4)

. Calcular

P(X \leq 35)

.

1. Comprobar criterio:

np = 40 \geq 5

n(1-p) = 60 \geq 5

✓
2. Parámetros:

\mu = 100 \cdot 0.4 = 40

\quad \sigma = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.90

3. Corrección de Yates (

X \leq k \to X \lt k + 0.5

P(X \leq 35) \approx P(X \lt 35.5)

4. Tipificar:

z = \dfrac{35.5 - 40}{4.90} \approx -0.92

5. Tabla (simetría):

\Phi(-0.92) = 1 - \Phi(0.92) = 1 - 0.8212 = \mathbf{0.1788}

Una vez aplicada la corrección de Yates, se tipifica el valor corregido y se usa la tabla de la normal estándar.

Variables aleatorias discretas

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Función de distribución

Media (esperanza matemática)

Desviación típica

Distribución binomial

¿Cuándo se aplica?

Función de probabilidad

Media, varianza y desviación típica

Distribución normal

La distribución normal

Distribución normal estándar N(0,1)N(0,1)N(0,1)

Cómo usar la tabla: propiedades clave

Tipificación: de N(μ,σ)N(\mu, \sigma)N(μ,σ) a N(0,1)N(0,1)N(0,1)

Aproximación de la binomial a la normal

Corrección de continuidad de Yates

Ejemplo de aproximación paso a paso

Distribución normal estándar $N(0,1)$

Tipificación: de $N(\mu, \sigma)$ a $N(0,1)$