FUNCIONES

Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde un único elemento del segundo conjunto (recorrido). Se denota habitualmente como $f: A \to B$ o $y = f(x)$.

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada para los cuales la función está definida. Al calcular el dominio hay que excluir los valores que hacen que la expresión sea indefinida: denominadores nulos, raíces de negativos, etc.

El recorrido o imagen de una función es el conjunto de todos los valores de salida que puede tomar. Es decir, el conjunto de valores $f(x)$ cuando $x$ recorre todo el dominio.

Una función es continua en un punto $x = a$ si se cumplen tres condiciones simultáneamente:
① $f(a)$ está definida.
② Existe $\lim_{x \to a} f(x)$.
③ $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Una función es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.

Se produce cuando existe el límite en el punto pero la función no está definida allí (o toma un valor distinto al límite). Se llama evitable porque se puede redefinir la función en ese punto para hacerla continua.

Los límites laterales existen ambos y son finitos, pero son diferentes entre sí. El salto es la diferencia entre el límite por la derecha y por la izquierda: $\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)$.

Alguno de los límites laterales (por la izquierda o por la derecha) es infinito. La función presenta una asíntota vertical en el punto de discontinuidad.

Una función es creciente en un intervalo si a valores mayores de $x$ le corresponden valores mayores de $f(x)$. Es decreciente si a valores mayores de $x$ le corresponden valores menores de $f(x)$. Una función es constante si $f(x)$ no varía. Con derivadas: $f'(x) > 0$ implica creciente, $f'(x) < 0$ implica decreciente.

Una función es cóncava (cóncava hacia abajo) en un intervalo si su gráfica se encuentra por debajo de cualquier recta secante entre dos puntos del intervalo. Equivalentemente, su segunda derivada es negativa: $f''(x) < 0$.

Una función es convexa (cóncava hacia arriba) en un intervalo si su gráfica se encuentra por encima de cualquier recta secante entre dos puntos del intervalo. Equivalentemente, su segunda derivada es positiva: $f''(x) > 0$.

Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia de cóncava a convexa (o viceversa). En él la segunda derivada se anula: $f''(x) = 0$, aunque esto es condición necesaria pero no suficiente.

Un punto $x = a$ es un máximo relativo si $f(a) \geq f(x)$ para todo $x$ en algún intervalo abierto que contenga a $a$. Es un pico local de la función. Si $f$ es derivable, se da cuando $f'(a) = 0$ y $f''(a) < 0$.

Un punto $x = a$ es un mínimo relativo si $f(a) \leq f(x)$ para todo $x$ en algún intervalo abierto que contenga a $a$. Es un valle local de la función. Si $f$ es derivable, se da cuando $f'(a) = 0$ y $f''(a) > 0$.

Es el mayor valor que toma la función en todo su dominio. Puede no existir si la función no está acotada superiormente.

Es el menor valor que toma la función en todo su dominio. Puede no existir si la función no está acotada inferiormente.

Son los puntos donde la gráfica cruza los ejes cartesianos.
• Eje Y: Se calcula haciendo $x=0$, dando lugar al punto $(0, f(0))$. Solo puede haber uno como máximo.
• Eje X (Ceros): Se hallan resolviendo $f(x) = 0$. Puede haber ninguno, uno o varios puntos.

Los ceros (o raíces) de una función son los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$. Geométricamente son los puntos donde la gráfica corta al eje $X$. Son el punto de partida para estudiar el signo de la función.

El signo de una función indica en qué intervalos la función toma valores positivos ($f(x) > 0$, la gráfica está por encima del eje $X$) y en cuáles valores negativos ($f(x) < 0$, la gráfica está por debajo). Los ceros marcan los cambios de signo.

Una función es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ en su dominio. Su gráfica es simétrica respecto al eje Y. Para comprobar si una función es par: sustituir $x$ por $-x$ y verificar que se obtiene la misma expresión.

Una función es impar si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ en su dominio. Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. Nota: toda función impar verifica que $f(0) = 0$ (si $0$ está en su dominio).

Una función que no es ni par ni impar no tiene simetría especial. La mayoría de las funciones son de este tipo. Para determinarlo basta comprobar que no se cumple ni $f(-x) = f(x)$ ni $f(-x) = -f(x)$.

Una función es periódica si sus valores se repiten a intervalos regulares a lo largo del eje X. Matemáticamente, existe un número real $T > 0$ (llamado periodo fundamental) tal que $f(x + T) = f(x)$ para todo $x$ en su dominio. Las funciones trigonométricas son los ejemplos más clásicos.